容斥问题在历年行测考试中出现频率较高,且由于解题技巧相对固定,所以我们要牢牢掌握。查字典公务员教育专家总结,解决容斥问题重点记住两个技巧即可:1、利用文氏图表达多个集合间的关系(做到理解每一部分所代表的含义,其中面积大小代表元素个数)。2、牢记面积去重原则寻找等量关系计算。
例题1:如图所示:X、Y、Z分别是面积为60、170、150的三张不同形状的卡片,它们部分重叠放在一起盖在桌面上,总共盖住的面积为280,且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积分别是22、60、35。问阴影部分的面积是多少?( )
A.15 B.16 C.17 D.18
查字典公务员解析:读题后易知本题就是一个简单容斥问题,只不过将集合直接用面积表达出来了,因此可以直接用容斥问题技巧。依题知三个图形总面积为280,根据所给条件可以尝试列式,280与60+170+150的关系,根据图发现右边中X与Y、X与Z、Y与Z重叠部分算了两次,X、Y、Z重叠部分算了三次,由面积去重原则可是,扣除重叠部分即可。又题目给出了两者重叠部分,所有右边为60+170+150-22-60-35.这时发现三者重叠部分扣除三次太多,所以要加回来,设为a。则280=60+170+150-22-60-35+a。解得a=17,故选C。
在容斥问题中除了常见的计算某一部分的数据,还有一类题目是问某一部分数据的最大或者最小值,我们称之为容斥问题之极值问题。针对这一类题目根据不同的问法有不同的解法,在此主要跟大家介绍常见的两种,记住公式就好。
例题1、已知某一个班级共有50人,进行多次考试,在第一次考试中30人得分在90分以上,第二次考试中有35人得分在90分以上。问两次得分都在90分以上的最少多少人?
查字典公务员解析:本类题目问的是两者容斥问题中,两集合交集最少是多少。记住固定公式即可:AB最小=A+B-I,即交集最少=集合A+集合B-全集I=30+35-50=15,故两次得分都在90以上的最少15人。
若是问三者集合中,三者交集最少多少人的则公式为:AC最小=A+B+C-2I。
例题2、已知某一个班级共有50人,进行多次考试,在第一次考试中30人得分在90分以上,第二次考试中有35人得分在90分以上。第三次考试有40人得分在90分以上,问三次得分都在90分以上的最少多少人?
查字典公务员解析:题目所求为三者交集最少多少,只需使用公式即可:三者交集最小=30+35+40-250=5.故三次得分90以上最少5人。
这就是容斥问题解题基本技巧,总的来说就是要利用文氏图表达集合间关系,理解每个部分代表含义,然后根据面积去重原则进行计算,记住固定公式。
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