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考研数学:寻根究底之随机变量篇(三)

2014-08-07 | 网络

多维分布包括三种:联合,边缘,条件。后两种是多维变量独有的分布。我们先从边缘分布看起。先总体把握一下:X,Y放在一块构成一个向量(X,Y),其分布称为联合分布,而X自己作为随机变量,其分布称为(X,Y)关于X的边缘分布。当然分布包括三种:分布函数,分布律和概率密度。前面加上边缘,就得到三种边缘分布。何为(X,Y)关于X的边缘分布函数FX(x)?把握两点即可:一、随机变量自己的分布函数;二、它和联合分布函数的关系:对比FX(x)和F(x,y)的定义,我们发现前者不含y,如何把F(x,y)中的y变没呢?注意到F(x,y)=P{X=x, Y=y}中的=x和=y为两个事件,如果我们令y趋于正无穷,则=正无穷为必然事件,那么F(x,正无穷)=P{X=x, Y=正无穷}= P{X=x }。如果我们已知X和Y的联合分布函数,要求关于一个随机变量的边缘分布函数,只需求极限即可(令一个变量趋于正无穷)。

弄明白边缘分布函数后,边缘分布律和边缘概率密度就是类似的了。关于边缘分布律,也是把握两点:一、(X,Y)二维离散型随机变量,X自己是一维离散型随机变量,它自己应有分布律,我们把这个分布律称为(X,Y)关于X的边缘分布律。二、边缘分布律和联合分布律的关系。(X,Y)关于X的边缘分布律P{X=xi}=pi(i=1,2,)中不含j,意味着P{X=xi}=pi对所有的j都成立。故P{X=xi}= P{X=xi,Y=y1}+ P{X=xi,Y=y2}+也就是说,如果我们知道了联合分布律,要求边缘分布律,做加法即可。反过来,如果我们已知边缘分布律,要求联合分布律。首先要有已知边缘求联合的意识,之后我们可以把联合分布律的表画出来,并把边缘分布律写在一边,再结合已知条件,不难把联合分布律的表填完整。对于二维离散型随机变量,其分布问题关键是写出联合分布律,求边缘分布律即做加法,求条件分布律做除法即可。

根据离散和连续的对应关系,我们不难得到边缘概率密度。其概念也是把握两点:一、(X,Y)关于X的边缘概率密度其实就是随机变量X自己的概率密度,这是一维随机变量的概率密度,与第二章讲的概率密度无区别,加上边缘是为了指明它与联合概率密度的关系,当然也是为了区分与二维随机变量相关的两个概率密度(联合与边缘);二、边缘概率密度与联合概率密度是什么关系?我们可以通过离散型随机变量和连续型随机变量的对应关系来把握。我们通过对联合分布律做加法就得到了边缘分布律,而积分可以理解为连续求和,所以我们通过对联合概率密度求积分可以得到边缘概率密度。

以上是对边缘分布的讨论,下面我们来看条件分布。首先,考研[微博]范围内只须考虑条件分布律和条件概率密度,不用管条件分布函数。我们以下面的二维离散型随机变量为例,讨论条件分布律。先给出二维随机变量的联合分布律:P{X=0,Y=0}=1/4, P{X=0,Y=1}=1/4, P{X=1,Y=0}=1/2, P{X=1,Y=1}=0。我们考虑下面的概率P{X=0|Y=0},不难发现这是一个条件概率,我们按照条件概率的定义写出来P{X=0|Y=0}=P{X=0,Y=0}/ P{ Y=0}=(1/4)/(1/4+1/2)。那么这是不是条件分布律呢?不是,条件分布律要给出Y=0的条件下,X的所有可能取值及取这些值对应的概率。所以上面的式子只是给出了条件分布律中的一项。意识到这点,我们不难写出另一个式子P{X=1|Y=0}= P{X=1,Y=0}/ P{ Y=0}=(1/2)/(1/4+1/2)。这两个式子合起来构成一个完整的分布律,我们称其为给定Y=0的条件下X的条件分布律。通过这个小例子,我们思考一下:什么是条件分布律?条件分布律是一些条件概率。我们观察最终结果,不难发现结果是比值,分子是联合分布律中的一项,分母是边缘分布律中的一项。我们可以简单地记成:联合/边缘=条件。而实际做题过程中,如果我们能写出联合分布律,写出边缘分布律就是做加法,而写条件分布律就是做除法。实际是联合分布律中的项占该项所在行(或列)的数字的和的比例。我们把上面讨论的内容总结一下,就得到了一般的条件分布律的定义。我们称P{X=xi|Y=yj}=pij (i=1,2,)为给定Y=yj的条件下,X的条件分布律。在这个定义式中,要分清哪个指标是固定的,哪个指标是可变的。

条件概率密度可以依据离散和连续的对应关系来理解。如对于条件分布律,有联合/边缘=条件,那么相应地,条件概率密度等于联合概率密度除以边缘概率密度,即fX|Y(x|y)=f(x,y)/ fY(y)。

下面我们对多维分布做一个小结:多维分布分成三个部分:联合分布,边缘分布和条件分布。这三部分基本的要求是理解定义和性质,其中联合分布函数有四条性质,前三条由一维分布函数推广而来,第四条性质通过画图理解;联合分布律和联合概率密度的性质(非负性和归一性)可作为充要条件;边缘分布函数,分布律和概率密度其实是一维分布,自然满足一维分布的性质;条件分布律和条件概率密度也满足非负性和归一性。多维分布这部分内容对应考研数学两道大题:多维分布的计算和求随机变量函数的分布。有了对基本概念的透彻理解,掌握相应的方法就水到渠成了。

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